2012年02月28日

正十二面体ファミリーの接合体(2)


面同士をピッタリくっつけて接合すると正十二面体から黄金菱形十二面体を作ることができます

630_truncationDodecaIcosahedron_gldRhm_01_01.png





上の形は正十二面体を13個使った前回610_dodecahedron_uspHxgPck_3D01.pngと似て非なるもので(正十二面体の回転の有無や、個数など)、六角形を菱形3つで構成した形と見ることができます



そのように考えた場合、その菱形の鋭角は正十二面体の法線ベクトルのなす角度と等しいので、黄金菱形となります(その菱形は正十二面体8個でできていて、こちらに画像があります→WodframMathWorld の dodecahedron のページ



さて、黄金菱形では色々な形がてきますが、例えば等面菱形十二面体があります

冒頭の菱形3つでできた六角形の形の中心が、黄金菱形十二面体における鈍角が3つ集まる頂点になります

下図が正十二面体を黄金菱形十二面体の形に接合したものです

630_truncationDodecaIcosahedron_gldRhm_01_02.png


紫の正十二面体同士には隙間があり、青と紫の正十二面体はピッタリくっついていて、全体で1つの接合体です

青い正十二面体が黄金菱形十二面体の頂点(14個)に配置され、紫が稜線(24本)に相当します

斜めから見ると

630_truncationDodecaIcosahedron_gldRhm_01_05.png

このような感じで、あまり菱形十二面体には見えませんが・・・



ところで正十二面体の任意の2枚の面が作る角度は切頂十二面体の十角形面の組み合わせや切頂二十面体の五角形面の組み合わせが作る角度に必ず含まれるので、それらの多面体でも同様の接合体を作ることができます

切頂二十面体(切頂多面体としては特別有名な形)で同様に作った黄金菱形十二面体です

630_truncationDodecaIcosahedron_gldRhm_01_00.png

これも菱形十二面体には見えません



動画では接合状態を保持したまま、切頂やその逆の変形等を行っています

動画



なお、正十二面体→切頂十二面体→二十・十二面体→切頂二十面体→正二十面体と変化しますが、正二十面体に至っては頂点のみの接合となり、冒頭の図に相当する配置は下図のようになります

630_truncationDodecaIcosahedron_gldRhm_01_03.png

なかなか面白い形ですが、正二十面体の接合体の状態で面と面の間にあった隙間は上図の正二十面体では頂点の間の隙間となります



続く


この記事へのコメント
こんばんわ。
おもいろ〜い。CGがどんどん進化していますね。接合体の中に入って行く様子がまるで宇宙船の中に入っていくようです。
正十二面体から正二十面体に変化していくところが関係がわかりやすいですね。
またサッカーボールになって飛んでいったりと。
私も切項二十面体には興味がありますね。
正四面体、正八面体、立方体は白銀比が関係していて、正十二面体と正二十面体は黄金比が関係してくるのかなと勝手に考えています。
こんな素敵な3DCGが。出来るなんていいですね
Posted by のりさん at 2012年03月01日 23:36
 
こんばんは、コメントありがとうございます

黄金比の系はとても興味深いです

驚くべきことが次から次に出てくる感じです

白銀比の方も久しぶりに作ろうかと思っています
 
Posted by 流閃 at 2012年03月03日 01:41
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