2012年06月18日

切頂八面体による空間充填イルミネーション


切頂八面体による空間充填の動画です

光源に関して、今回は平行光線を発するものではなく、点光源をいくつも使いました

切頂八面体の重心に置かれたそれぞれの点光源は、その切頂八面体の面色と同じ色の光を発しています

発光強度を時間的に変化させたので、電光飾のような雰囲気になっています

動画




113個の切頂八面体による空間充填です

1150_truncated_octahedron_12_00.png



色に関して、中心の切頂八面体を白、重心座標各成分の絶対値がすべて等しいものを赤、0でない成分が1成分のみのものを青とし、他は真ん中の切頂八面体からの距離に応じて決めてあります

1150_truncated_octahedron_12_03.png



充填配置になったとき、このように色を決めてあるため、赤は正六面体の8頂点、青は正八面体の6頂点等、座標値がすべて整数値となる多面体の頂点と切頂八面体による空間充填の配置が色毎に対応します

1150_truncated_octahedron_12_07.png



ただし、上記のことは外接球をもつ多面体についてであり、そうでないもの、例えば菱形十二面体の14頂点に対応する位置に配置される切頂八面体は1色ではありません

1150_truncated_octahedron_12_05.png

上図中央の塊の中の赤と青が菱形十二面体の頂点に対応する位置です(それぞれ正六面体、正八面体の頂点位置に対応しています)



下図、中央の塊を取り囲んで宙に浮いている紫の切頂八面体は、中心の切頂八面体から数えて90〜113個までの24個で、これらは切頂八面体の24頂点に相当する配置を作ります

1150_truncated_octahedron_12_01.png



解りにくいので、注目する色の切頂八面体が4面のみで他とくっつく状態にすると、下図中央のように、紫色の切頂八面体の配置自体が切頂八面体の頂点になっていることが確認できます

1150_truncated_octahedron_12_02.png

ちなみに上図の他の形は、余った切頂八面体で作った立方八面体(右奥)と空間充填八面体2個(手前と左奥)で、黄色の切頂八面体の位置が多面体頂点に対応しています



切頂八面体では対向する正六角形間の距離と正方形間の距離が異なる(内接球をもたない)ものの、空間を充填していくときの切頂八面体の重心(それぞれの切頂八面体の中心)に関して、すべて同時に全座標を整数値にすることができるため、以上のような方法で星型八面体やエッシャーの立体なども作ることができると思います

この記事へのコメント
こんばんわ。
雨が結構ふってますね。
あれっ!真っ暗。最初の出だしがおやっと思わせる、宇宙的な感じがしますね。
それに光を取り入れるところが流閃さんの名前にふさわしいですね。
止まった画像は光ってないですね点滅させるとそのように感じるんですね。
頂点ごとに色を変えたんですね。
一番下は立方八面体の四角と三角の位置に切頂八面体は六角と四角の位置というか頂点がわかりやすくなっていますね。
これからも益々派手にカラフルにキラキラにして面白くしてくださいね。
Posted by のりさん at 2012年06月19日 23:24
 
こんばんは、コメントありがとうございます。

光源そのものは不可視のようで、回りに物を配置しそれらが照らされないかぎり、光源があるかないかは判りません

ですので、動画では多面体の中に配置した光源の光量をの増減に合わせて、その多面体の面の明るさを変化させています(そうすると、多面体自体が発光しているように見える)

今後もたまにこのような感じのは作っていきたいです
 
Posted by 流閃 at 2012年06月21日 00:15
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