2012年07月02日

正四面体の再帰的配置(1)


多数の正四面体を配置した空間のCG動画です

動画




切頂八面体の空間充填の配置から1まわり大きな切頂八面体を作るようなことをどんどん続けたらどうなるかと思い、作ったものです

面数最小の多面体を使うのは良いとして、各多面体を個別に動かそうと考えていて結局は動かさなかったため、描画個数を増やすのに使えるリソースが無駄になってしまった感じです(動画では、全配置がフレーム内に収まったとき正四面体はおよそ16000個)



さて、合同な4つの正四面体を頂点を接するようにして配置すると、穴の開いた1まわり大きな正四面体の形になります

1200_tetrahedron_fractal_02_10.png



この配置を1つの正四面体のように考えて、これ4つを上と同様なやり方で配置すると、できあがりは穴だらけのさらに大きな正四面体です

1200_tetrahedron_fractal_02_11.png



この配置は再帰的に繰り返して広げていけますが、ある程度で打ち切って下のような図が得られます

穴だらけの巨大な正四面体の頂点の真上から見た図です

1200_tetrahedron_fractal_02_13.png



別の方向からだと次図のようになります

1200_tetrahedron_fractal_02_14.png



目に留まるいろいろな大きさの三角形の空白領域は、実際は正八面体の形です(最初の図、および下図参照)

1040_stellaoctangula_01_05.png



ところで今回のCG動画からは横道にそれますが、以上のように無限に配置を広げていく過程は、ある大きさの正四面体に穴を開けて半分の大きさの正四面体を次々に生成していく過程と見ることもできます(このプロセスを無限に繰り返した結果生じる形はフラクタル図形で、The third iteration of the Sierpinski tetrahedron と呼ばれているようです。こちらのページの中段よりやや下にあります)

正四面体を穴開けによって分割していくと考えた場合、ある段階で生じたすべての正四面体の個々の表面積を生じた正四面体すべてに渡って総計すると、一番最初の正四面体の表面積と等しいのですが、体積の総計は減っています(穴を開ける各ステップごとに体積が半分になっていく。表面積は変化しない一方、正八面体の形が取り除かれて体積のみ減っていく)

すべてのステップにおいてこのことが成立するので、穴開けをどんどん進めていくと体積はゼロに近づいていくことが解ります

これはつまり、見た目上は立体が分割によって無数の点列となり、その連なりは異様に入り組んで枝分かれした線となり、それらが正四面体の輪郭を生じているような形を経て、極限的には目には見えない何かになってしまうということでしょうか?

それとも、表面積は一定なので(最初の正四面体の表面積に等しい)、ある濃度をもった何かとして(煙のような?笑)、目に見える形になるのでしょうか?

数学的な意味での極限はこの場合作図不能ですし、立体と呼んでいいのかはわかりませんが、そのようなゼロ体積立体(有限の面積と無限小の体積)に関するCGを探しています



最後に、サイズが小さいのですが、疑似立体視用の図です(45 個の範囲の一部を写したもの)

1200_tetrahedron_fractal_02_D3_00.png

中央と左右のどちらか1つをペアとして見ますが、遠くの物が見えやすい人は中央と左のペア、近くの物が見えやすい人は中央と右のベアで正しく見ることができます

正しく見えると、最も手前が中央の正四面体です

正しく見えているわけではないが立体感をともなっている場合はその逆で、中央が最も奥に見えます

もちろん、どちらのペアを使っても正しく見ることはできます(練習が必要かもしれません)



続く

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