2012年07月23日

正八面体の接合体(1)


合同な正八面体を面や稜線でつないでできる接合体についてです

動画





動画の前半は「正四面体の再帰的配置」において正四面体の部分を正四面体の形をした空間に、正八面体の形をした空間を正八面体に置き換えた配置等です(稜線のみで接合された形になります)

1250_octahedra_make_SRD_00_01.png



後半は、白銀菱形十二面体を作っています

白銀菱形十二面体は長軸と短軸の比が白銀比( √2 )になっている菱形(白銀菱形)十二枚でできる空間充填多面体です

1250rhombicdodecahedron.gif



白銀菱形十二面体は空間充填八面体6つの接合体である一方、正八面体ともとても密接に関係しています

正八面体は頂点の真正面から見ると正方形のシルエット(下図左)ですが、稜線の真正面から見ると白銀菱形のシルエット(同右)となります

1250_octahedra_make_SRD_00_02.png



上図左の輪郭は正八面体の稜線、同右の輪郭は正八面体の面を真横から見たときに見える線によって生じていますが、後者から正八面体の2枚の面が作る角度は白銀菱形の2本の辺が作る角度と等しいということが判ります(実際法線ベクトルのなす角に関して cos θ = ±1/3 )

このことを利用して、正八面体を面で貼り合わせていって白銀菱形十二面体の稜線に相当する形を作ることができます(面のみで接合した形です。やっていることは基本的に「正十二面体ファミリーの接合体(2)」と同じです)

1250_octahedra_make_SRD_00_00_01.png



途中適宜、菱形十二面体の頂点部分に相当する計14個の正八面体を追加していっています

4方向から正八面体が集まる部分では頂点に相当する位置にはまる正八面体の片半分の4面に、3方向から正八面体が集まる部分では頂点に相当する位置にはまる正八面体を三角反柱と見た場合の1面おきの3枚の側面に、それぞれの方向からぴったり接合します

なお、棒状につなぐ正八面体の個数によっては、3方向から正八面体が集まる部分に正八面体がはまらなくなるので注意が必要です(正八面体がはまらないケースでは正四面体がちょうどその場所にはまるようになります)

この記事へのコメント
お〜正八面体がいっぱいですね。
そこから白銀菱形の稜線に移っていくんですね、角のところを足している所がポイントですね。角度が丁度同じということですね。その部分だけの説明でも面白いのができると思います。
3Dはわかりませんが、画面という平面で空間はありません、空間があるように見せるということですかね。画面を見ている私はまた次元が違うんでしょうかね〜
Posted by のりさん at 2012年07月23日 23:20
 
こんばんは、コメントありがとうございます

実際の物体と異なりCGは2次元ですね

手軽に3次元をそのままCGにできるといいのですが

今回の正八面体と菱形十二面体の関係は、たぶんダイヤモンド空間充填体でも同様なものができると思うので、それも作ろうと思います
 
Posted by 流閃 at 2012年07月24日 00:48
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